[達人專欄] 這題有錯！112 數學A 模擬考—「已知一點與兩角平分線，求原三角形」
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這題有錯！112 數學A 模擬考—「已知一點與兩角平分線，求原三角形」
霧島悠樹
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2023-12-31 19:11:23
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這題有錯！112 數學A 模擬考—「已知一點與兩角平分線，求原三角形」本文將分享一個學測數學模擬考題出問題的例子有更多想法與意見都歡迎討論此題應該不算太難，但還是很多細節值得想想的~ 就當作年底最後的數學文吧！此題為 112年 學測數學A模擬考 第三次全模 南一 (考試時間為112 /11/1 ~2 )其中的選填16題：如果沒有方法，要去找點B,C是非常困難的有些人可能會想要設B點在L1 , C點在L2，再用參數式表示接著可以去列式直線BC的直線，用「角平分線上任一點到兩直線距離相等」去求出但這計算量非常大，也非常麻煩，不太可能要這樣做一定要想想有什麼特殊方法才對依照敘述，先不考慮此題在坐標平面上的點與直線方程式可以簡化為尺規作圖的一個問題：「給定一個三角形，只知道其中一個頂點，和此三角形的另外兩個角的角平分線，求作此三角形」不妨先想想看這是尺規作圖的問題的話該如何做呢？如果能夠做出來，那麼當然也可以用解析幾何的方式做！有興趣的人想想看，不然下面要直接破梗了我就是要揭穿，這個詳解的問題！詳解上是這樣寫的：寫得非常簡單，可是為什麼呢？在此解釋一下，此作法的原理也就是回答尺規作圖的做法：「給定一個三角形，只知道其中一個頂點，和此三角形的另外兩個角的角平分線，求作此三角形」具體作法為1.由已知A點，分別對角平分線L1,L2作對稱點D,E2.連接DE直線3.DE直線與兩角平分線之交點即為原三角形的另外兩點B,C，即是還原三角形。來驗證看看：我先畫隨意一個三角形只留下點A與兩角平分線開始作圖1.由已知A點，分別對角平分線L1,L2作對稱點D,E2.連接DE直線3.DE直線與兩角平分線之交點即為原三角形的另外兩點B,C，即是還原三角形。(看吧，不僅點一樣，角度也都確實是一樣！)為何呢？單看一邊，點A、直線L1以及對稱點D由於是對稱點，現在直線L1相當於AD的中垂線，也因此L1線上任一點P到A,D等距也有直線L1平分角APD，如下示意圖而另外一邊也是一樣，用L2所做的對應點E同樣有這樣的性質，那麼只要連接DE直線，與L1,L2所交的點不就是原本的B,C點了！看起來很合理，那麼為何我會說這題錯了？哪裡錯了？實際上，用GGB軟體畫出來：得到此圖：接著再依照詳解的作法，(詳細作圖的過程我就不放上了，GGB軟體很棒可以直接畫對稱點)畫出以下此時的兩個直線，真的會是B,C的角平分線嗎？很明顯不是的，實際上這個L2是角C外角平分線！https://www.geogebra.org/classic/pgkvaw4a連結在這 大家可以看看，也可改變A點的位置，看會怎麼變做法並沒有錯此時依然符合「L2線上任一點到A,E距離相等」是原本題目數據錯了這題存有瑕疵！難道「隨便給一個點，跟兩條直線，說這兩直線是角平分線，我們就能夠還原三角形？」這題正是犯了這個錯誤，出題者誤以為隨意給了一點、兩角平分直線，就能夠還原三角形實際上就這題的數據，要符合條件的三角形是不存在才對那麼這題要送分才對吧！ (還請有考這份模擬考的本屆考生回答我，有送分嗎？)這題如果數據正確，或是是個好題，但現在錯了，就不是，反而成為為難考生的一題不過平心而論，這題算難，不直觀、不好想，計算量中偏高延伸思考：原本的題目應該怎麼改才會對？改A點是一個比較恰當的想法，怎樣的A點搭配兩個角平分線才會使得這三角形成立呢？怎樣的範圍合適呢？考慮A點在哪？會使得兩對稱點D,E的所形成之直線會平行於兩角平分線(所以要分兩個去討論，其解也會是兩條直線)那時的A必然不可成立，而我們要討論的就是這個時候，因為跨越那兩條直線會使得所畫出來的三角形情況有所不同經過漫長的計算 (計算的過程就不放了)可以得知只要A點在藍色區域中，都會使得這三角形得以還原！此時的L1,L2 才會是B ,C的內角平分線，而非外角平分線！藍色區域為：(3x+y-2)*(x-y+4) < 0 的範圍https://www.geogebra.org/classic/ncqr6sxp 連結在這，歡迎體驗看看有趣的變化~(不妨想想怎麼算的？ 手寫題這樣考感覺更有趣更有趣的情況：此時兩直線都會是B,C的外角角平分線延伸討論：1. 已知三角形一點和兩中垂線，能否還原三角形？ 2.已知三角形一點和兩中線，能否還原三角形？3.還有什麼學測模擬考中錯誤的題目都歡迎提供也跟考這份模擬考的同學說：不要覺得考不好就是數學不好，背後有這麼多值得討論的東西，居然期望學生能夠在短短的時間內理解消化還要做答成功？數學可是很嚴謹又需要大量思考的，有些人只是多想了點，不適合考試不代表數學不好2023即將結束有在最後一天多讀數學吧，就算跨年，還是什麼日子，數學帝國才不會因此停歇2024年要來了一樣要多讀數學！之前寫的數學文章也歡迎看看：為什麼要學「積化和差，和差化積」？因式分解！《笨蛋，測驗，召喚獸》中的數學意想不到的神秘角度問題霧島簡評111分科測驗 數學甲霧島簡評112分科測驗數學甲霧島簡評112學測數學A霧島簡評111學測數學A霧島簡評110學測數學書評：數學女孩秘密筆記：圖形的證明 – 為何要證明？錯誤的學習數學心態與方法介紹數學遊戲 Renzoku 連續 - 離散世界的「連續」
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飛鳥ひな
2026-01-16 21:03:31
感謝 考前還能學到東西
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霧島悠樹
2026-01-16 22:34:24
你明天要考學測了是嗎？
最後一點時間好好休息，養足精神，有好的狀態考比較好，加油！
路過的紳士
2024-10-05 16:00:06
謝謝，解釋的超棒，今年對話式複習講義上有一題用到一樣的觀念，想半天沒想出來，感謝解答
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霧島悠樹
2024-10-20 02:01:13
原來有收錄是嗎? 謝囉，背後都很多細節的，值得思考！
霧島悠樹
gowofmath666
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